Algèbre linéaire

Groupes Abéliens/Commutatifs

Espace vetctoriel

Un espace vectoriel est commutatif et vérifie les propriétées suivantes:

Sous espaces-vectoriels

F est un sous-espace vectoriel si et seulement si:
$$\forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}, \forall x, y \in F, \lambda x + \mu y \in F$$

On défini la somme de sous espaces-vectoriels:
$$F_{1} + F_{2} = {x_{1} + x_{2}, \forall x_{1} \in F_{1}, \forall x_{2} \in F_{2}}$$

On dit qu'une somme est directe si on peut décomposer tout vecteur de $F_{1} \oplus F_{2}$ en somme d'un vecteur de $ F_{1}$ et d'un vecteur de $F_{2}$ de manière unique. c'est à dire:

$$ \forall y \in F_{1}+F_{2}, \exists ! x_{1} \in F_{1}, \exists ! x_{2} \in F_{2} \mid y=x_{1}+x_{2} $$

La somme $F_{1} + F_{2}$ de deux sous espaces-vectoriels d'un mĂŞme espace-vctoriel est encore un sous espace-vectoriel.
La somme $F_{1} + F_{2}$ est directe si et seulement si $F_{1} \cap F_{2} = {0}$

combinaison linéaires et sous espaces-vectoriels

On note $Vect(A)$ l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de A
Si x, y sont dans $Vect(A)$ et si $a, b \in \mathbb{R}$ alors
$$ax+by \in Vect(A)$$

Soient $A, B \subset E$
$$Vect(A \cup B) = Vect(A) + Vect(B)$$
$$Vect(A \cap B) \subset Vect(A) \cap Vect(B)$$

Applications linéaires

$$Ker(f)=\lbrace x \in E \mid f(x) = 0\rbrace$$
$$Im(f)=\lbrace y \in F \mid\exists x \in E et f(x) = y\rbrace$$

f est injective si et seulement si: $Ker(f)=\lbrace 0 \rbrace$
f est surjective si et seulement si: $Im(f)=F$
si f est bijective, $f^{-1}$ est linéaire

Familles libres, génératrices et bases

Une famille libre et génératrice est une base.

Soit E un $\mathbb{R}$ espace vectoriel de dimension finie n.
Soit $(e_1,…,e_k)$ une famille libre de E.
On peut rajouter n-k vecteurs à $(e_1,…,e_k)$ pour la compléter en une base de E.

Soient $F_1,F_2$ deux sous espaces vectoriels de dimensions finies d'un $\mathbb{R}$ espace vectoriel:
$$dim(F_1+F_2) = dim(F_1) + dim(F_2) - dim(F_1 \cap F_2)$$

Dimension fines et applications linéaires

Soient E, F deux $\mathbb{R}$ espaces vectoriels de dimensions finies et $f \in L(E,F)$ une application linéaire, alors:
$$dim Ker(f) + dim Im(f) = dim E$$
En renomant $dim Im(f)$ le rang de f on obtient le théorème du rang
$$dim Ker(f) + rg(f) = dim E$$